Уравнения.

Уравнение-это равенство, содержащее переменную.

Корнем уравнения называется значение переменной, обращающее его в верное равенство.

Решить уравнение – значит, найти множество всех его решений или доказать, что их нет.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.

965

Методы решений уравнений.

1.Метод замены переменной.

9875

Пример 1

Решим уравнение (x2–5x+4)(x2–5x+6)=120.

Если перенести все члены уравнения в левую часть и преобразовать получившееся выражение в многочлен стандартного вида, то получится уравнение

x4–10x3+35x2–50x–96=0,

для которого трудно найти способ решения.

Однако можно воспользоваться следующей особенностью исходного уравнения: в его левой части переменная х входит только в выражение x2–5x, которое встречается в уравнении дважды. Это позволяет решить данное уравнение с помощью введения новой переменной. Введём замену:

x2–5x=y.

Тогда исходное уравнение сведётся к уравнению с переменной у:

(y+4)(y+6)=120.

Упростим его:

y2+10y–96=0.

Корни этого уравнения: y1=–16; y2=6.
Вернёмся к нашей замене. Осталось решить два уравнения:

x2–5x=–16 и x2–5x=6.

Решая первое уравнение, найдём, что оно не имеет корней.

Решая второе уравнение, найдём два корня: x1=–1; x2=6.

Ответ: x1=–1; x2=6.


2. Метод разложения на множители.

Решим уравнение x3+3x=3,5x2.

Имеем:

x3+3x=3,5x2;
x3–3,5x2+3x=0;
x(x2–3,5x+3)=0;
x=0 или x2–3,5x+3=0;
x1=0; x2=1,5; x3=2.
Последнее изменение: Вторник, 14 августа 2012, 04:02