Неравенства с одной переменной
Пусть дано неравенство 
. Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с одной переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства с одной переменной.
Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет.
Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.
Замена одного неравенства равносильным ему другим неравенством называется равносильным переходом от одного неравенства к другому.
При решении неравенств обычно заменяют данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяют более простым, равносильным данному неравенству и т.д. Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.
Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному: и 
равносильны.
Если к обеим частям неравенства с одной переменной прибавить или вычесть одно и то же число, то получится неравенство, равносильное данному: и 
a. равносильны для любого действительного числа
Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному: и 
равносильны для любого 
.
Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному: и 
равносильны для любого 
.
Решение линейных неравенств
Линейным называется неравенство вида 
(или соответственно 
).
Если , то неравенство равносильно неравенству 
, значит, множество решений неравенства есть промежуток 
.
Если , то неравенство равносильно неравенству 
, значит, множество решений неравенства есть промежуток 
.
Если 
, то неравенство принимает вид 
, т.е. оно не имеет решений, если 
, и верно при любых х, если 
.
Общий способ решения неравенств- Метод интервалов.
Переносим все члены неравенства в одну сторону (например, влево)
Не производя абсолютно никаких преобразований, находим область определения функции стоящей в левой части неравенства, после чего в области определения функции с целью упрощения допускается выполнение тождественных преобразований.
Находим нули функций.
Рисуем пунктиром числовую ось, после чего сплошной линией обводим промежутки оси, принадлежащие области определения функции. На них точки, в которых функция терпит разрыв, отмечаем “пустыми” (не заштрихованными), отмечаем на оси нули (корни) функции:
- “пустыми” (не заштрихованными), точками, если неравенство строгое полными (черными), заштрихованными точками, если неравенство не строгое.
5. Определяем знак функции на каждом из полученных интервалов (например,
подстановкой в выражении функции какого-либо значения из соответствующего интервала).
выбираем для ответа нужные интервалы в соответствии со знаком неравенства.
Записываем ответ.